Limites et représentation graphique des fonctions du type ​x->eᵏˣ

Propriétés

Soit \(k\) un nombre réel non nul.
1. Si \(k>0\), alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \text e^{kx}=+\infty \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \text e^{kx}=0\).
2. Si \(k<0\), alors \(\lim\limits_{x\rightarrow +\infty} \text e^{kx}=0 \quad \text{et} \quad \lim\limits_{x\rightarrow -\infty} \text e^{kx}=+\infty\). 

Remarque

Lorsque \(k=0\) la fonction \(x\mapsto \text{e}^{kx}\) est la fonction constante égale à \(1\).

Tableau de variations des fonctions exponentielles du type \(f(x)=\text{e}^{kx}\) avec \(k\in\mathbb R\)

• Si \(k > 0\) :
  

• Si \(k < 0\) :​​​​​​

Le graphique ci-dessous donne l'allure des courbes représentatives dans un repère orthonormé des fonctions \(f\) et \(g\) définies, pour tout réel \(x\), par \(f(x)=\text e^{2x}\) et \(g(x)=\text e^{-0,8x}\).